【摘要】MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。回归分析，是对现有数据进行处理、从中发现有用信息的一种重要手段。而线性回归，特别是一元线性回归分析更是人们优先考虑采用的方式。基于此，本文就一元线性回归的MATLAB实现作了一番探讨，给出了多种实现方式，并通过一个实例加以具体展示，在数据处理时可根据自己的需要灵活地加以选用。

【关键词】MATLAB程序、一元线性回归、多元线性回归问题、线性回归拟合问题、Subplot、三次样条插值函数。

一、提出问题

在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。

二、简述原理

（一）一元线性回归

1．命令 polyfit最小二乘多项式拟合

 [p，S]=polyfit（x，y，m）

多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1

其中x=（x1，x2，…，xm）x1…xm为（n*1）的矩阵;

y为（n*1）的矩阵；

p=（a1，a2，…，am+1）是多项式y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+1的系数；

S是一个矩阵，用来估计预测误差.

2．命令 polyval多项式函数的预测值

Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y；

p是polyfit函数的返回值；

x和polyfit函数的x值相同。

3．命令 polyconf 残差个案次序图

[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回归多项式在x处的预测值Y及预测值的显著性为1-alpha的置信区间DELTA；alpha缺省时为0.05。

p是polyfit函数的返回值；

x和polyfit函数的x值相同；

S和polyfit函数的S值相同。

4. 命令 polytool（x，y，m）一元多项式回归命令

5．命令regress多元线性回归（可用于一元线性回归）

b=regress( Y,  X )

[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)

b 回归系数

bint 回归系数的区间估计

r 残差

rint 残差置信区间

stats 用于检验回归模型的统计量，有三个数值：相关系数R2、F值、与F对应的概率p,相关系数R2越接近1，说明回归方程越显著；F > F1-α（k，n-k-1）时拒绝H0，F越大，说明回归方程越显著；与F对应的概率p 时拒绝H0，回归模型成立。

Y为n*1的矩阵；

X为（ones(n,1),x1,…,xm）的矩阵；

alpha显著性水平（缺省时为0.05）。

（二）多元线性回归

1．命令 regress

2．命令 rstool 多元二项式回归

命令：rstool（x，y，’model’, alpha）

x 为n*m矩阵

y为 n维列向量

model 由下列4个模型中选择1个（用字符串输入，缺省时为线性模型）：

linear（线性）：

purequadratic（纯二次）： 

interaction（交叉）：

quadratic（完全二次）：

alpha 显著性水平（缺省时为0.05）

返回值beta 系数

返回值rmse剩余标准差

返回值residuals残差

非线性回归

1．命令 nlinfit

[beta,R,J]=nlinfit(X,Y,’’model’,beta0)

X 为n*m矩阵

Y为 n维列向量

model为自定义函数

beta0为估计的模型系数

beta为回归系数

R为残差

2．命令 nlintool

nlintool(X,Y,’model’,beta0,alpha)

X 为n*m矩阵

Y为 n维列向量

model为自定义函数

beta0为估计的模型系数

alpha显著性水平（缺省时为0.05）

3．命令 nlparci

betaci=nlparci(beta,R,J)

beta为回归系数

R为残差

返回值为回归系数beta的置信区间

4．命令 nlpredci

[Y,DELTA]=nlpredci(‘model’,X,beta,R,J)

Y为预测值

DELTA为预测值的显著性为1-alpha的置信区间；alpha缺省时为0.05。

X 为n*m矩阵

model为自定义函数

beta为回归系数

R为残差

三、多元线性回归问题

在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。（multivariable linear regression model ）

1、多元线性回归模型的一般形式

多元线性回归模型的一般形式为：

Y =0 +1X1i+2X2i++kXki +i, i=1,2,,n     （1）

其中 k 为解释变量的数目,j (j1,2,k ) 称为回归系（regressioncoefficient)。式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为：

Y =0+1X1i +2X2i ++ k X ki , i=1,2,n           (2)

â j 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient)。

2、 多元线性回归计算模型

Y=0+1x1+2x2+kxk +∼N (0,2 )       (3)

     多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和（Σe)为最小的前提下，用最小二乘法或最大似然估计法求解参数。

    设 ( x11, x12 , x1 p , y1 ),, ( xn1, xn 2 , xnp , yn ) 是一个样本，用最大似然估计法估计参数：

取 b0 , b1 bp ,当 b0b0 , b1b1,b− b 达到最小。